Республиканская олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс

Существует ли бесконечное множество $S$ натуральных чисел, удовлетворяющее следующим двум условиям:
   (i) $\text{НОД}(a_1,a_2,\ldots,a_{100})=1$ для всех попарно различных $a_1,a_2,\ldots,a_{100}\in S$;
   (ii) для каждого $x\in S$ найдется такое $y\in S$, что $x^2$ делится на $x+y+2026$? ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Отметим через $S -$ кол-во четных.Заметим что по условию в этом множестве $ S\leq 99$ , значит нечетные бесконечные.Для всех нечетных $x$ заметим что $y$ $-$ четно,но для всех бесконечных $x$ кол-во $y$ конечно что противоречит условию $\blacksquare$

бро я это же написал и слил респу

Ответ: нет

Предположим противное. Обозначим через d - количество четных чисел в множестве $S$; по условию задачи $d<100$, откуда следует что в множестве бесконечно много нечетных чисел. Назовём число $y$ "партнером" числа $x$ iff $x^2 $ делится на $x+y+2026$.Заметим что для нечетного числа его партнер всегда четное число;но т.к. нечетных чисел беск. много и четных чисел конечное количество, существует четное число $t$ такое что, $t$ является партнером для бесконечно много чисел. Пусть $k=2026+t$; тогда для беск. много чисел $x$ верна что

$k+x|x^2 => k+x|k^2$ $(1)$

Так как все такие $x$ различные, из $(1)$ следует что $k^2$ имеет бесконечно много различных делителей. Но это невозможно, потому что $k$ - фиксированное число, противоречие.