Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур регионального этапа

Числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a^2+b^2 > (a+b)^2$ и $b^2+c^2 > (b+c)^2$. Что больше: $c^4+a^4$ или $(a+c)^4$? ( И. Рубанов, А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Правильно что $2ab < 0\leq (a+b)^2\leq a^2+b^2$.(Если открыть скобки выйдет такое).Точно также выполняется с числом $c$.Заметим что знаки a и c одинаковые.Значит ac положительное.Вернемся к вопросу $a^4+c^4 * (a+c)^4$.Откроем скобку и сократим ненужные вещи.$0 * 2ac(2a^2+3ac+2c^2)=S$.Так как $ac,a^2,c^2$ положительные то S будет больше нуля.

Значит ответ:$c^4+a^4 < (a+c)^4$