22-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2026 год

Барон Мюнхгаузен заявляет, что нарисовал два разных и не противоположных луча $OA$ и $OB$ с общим началом $O$. На луче $OA$ он отметил 10 точек $K_1$, $\ldots$, $K_5$, $L_1$, $\ldots$, $L_5$, а на луче $OB$ — 10 точек $M_1$, $\ldots$, $M_5$, $N_1$, $\ldots$, $N_5$ так, что все 20 точек различны. Барон говорит также, что $K_iM_j=L_iN_j$ при всех $i$ и $j$. Могут ли слова барона оказаться правдой? ( И. Богданов )

Комментарий/решение

О:да,можно

Пусть уголOAB=90°.OK_i^2+OM_j^2=OL_i^2+ON_j^2 и отсюда OK_i^2-OL_i^2=ON_j^2-OM_j^2=const.Значит Мюнхгаузен выбирает произвольное действительное число const и на луче ОА отмечает произвольным образом K_1,K_2....K_5 и N_1, N_2...N_5,чтобы эти точки были различны.Дальше на луче OB отмечает соответсвующие точки,чтобы они удовлетворяли равенству выше.