22-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2026 год

Барон Мюнхгаузен ортақ төбесі $O$ болатын, бір-біріне қарама-қарсы емес әртүрлі екі $OA$ және $OB$ сәулелерін салдым деп мәлімдейді. Ол $OA$ сәулесінде ол $K_1$, $\ldots$, $K_5$, $L_1$, $\ldots$, $L_5$ деген 10 нүктені, ал $OB$ сәулесінде $M_1$, $\ldots$, $M_5$, $N_1$, $\ldots$, $N_5$ деген 10 нүктені белгіледі, әрі осы 20 нүктенің барлығы әртүрлі. Барон сондай-ақ барлық $i$ және $j$ үшін $K_iM_j = L_iN_j$ орындалады дейді. Баронның сөздері шын болуы мүмкін бе? ( И. Богданов )

Комментарий/решение

О:да,можно

Пусть уголOAB=90°.OK_i^2+OM_j^2=OL_i^2+ON_j^2 и отсюда OK_i^2-OL_i^2=ON_j^2-OM_j^2=const.Значит Мюнхгаузен выбирает произвольное действительное число const и на луче ОА отмечает произвольным образом K_1,K_2....K_5 и N_1, N_2...N_5,чтобы эти точки были различны.Дальше на луче OB отмечает соответсвующие точки,чтобы они удовлетворяли равенству выше.