Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 11 класс

Пусть $s(x)$ — сумма натуральных делителей натурального числа $x$, а $d(x)$ — количество его натуральных делителей. Например: $s(15)=1+3+5+15=24$, $d(15)=4$, так как у числа 15 есть 4 натуральных делителя: $\{1, 3, 5, 15\}$. Найдите все натуральные решения уравнения:$$ s(x) \cdot d(x)=96.$$

Комментарий/решение

Всего случаев: $(d(x); s(x)) = (2;48) = (3; 32) = (4; 24) = (6; 16) = (8; 12)$

Используем формулу : если $x = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_{n}^{a_n} $ тогда:

$d(x) = (a_1+1)(a_2+1) \cdot ... \cdot (a_n+1)$

$s(x) = \dfrac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \cdot \dfrac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} ... \dfrac{p_1^{a_n+1}-1}{p_n-1} $

1) Если $d(x) = 2$, тогда $x=p_1$ получается $s(x) = p_1+1 = 48$ или $p_1=47$ то есть $x=47$

2) Если $d(x) = 3$, тогда $x=p_1^2$ значит $s(x) = p_1^2+p_1+1 = 32$ целых решений нет

3) Если $d(x) = 4$, тогда $a)$ $x=p_1 \cdot p_2$ или $b)$ $x=p_1^3$ тогда :

$a)$ $s(x) = (p_1+1)(p_2+1) = 24$ очевидно подходят только $(p_1;p_2) = (2,7) = (3,5)$ то есть $x = 14 ; \ 15$

$b)$ $s(x) = p_1^3+p_1^2+p_1+1 = 24$ очевидно нет таких простых , при $p_1 >2$

4) Если $d(x) = 6$, тогда $a)$ $x=p_1 \cdot p_2^2$ или $b)$ $x=p_1^5$ тогда :

$a)$ $s(x) = (p_1+1)(p_2^2+p_2+1) = 16$ при $p_1; p_2 \geq 2$ выходит $s(x) \geq 16$ перебором, можно понять что простых решений нет.

$b)$ $s(x) = p_1^5+p_1^4+p_1^3+p_1^2+p_1+1 \geq 16$ при $p_1 \geq 2$ решений нет

5) Если $d(x) = 8$, тогда $a)$ $x = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ или $b)$ $x=p_1 \cdot p_2^3$ или $c)$ $x=p_1^7$

$a)$ $s(x) = (p_1+1)(p_2+1)(p_3+1) = 12$ перебором , можно убедиться что решений нет

$b)$ $s(x) = (p_1+1)(p_2^2+p_2+1) = 12$ так же нет

$c)$ $s(x) = p_1^6+p_1^5+p_1^4+p_1^3+p_1^2+p_1+1 = 12$ так же нет

Ответ : $ x= \boxed{47, 14, 15}$