Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 10 класс

Найдите все пары натуральных чисел $(a, b)$, удовлетворяющих уравнению $a^2=b(b+5)-2$.

Комментарий/решение

a²=b²+5b-2

При b>6 верно следующее двойное неравенство:

b²+4b+4<b²+5b-2<b²+6b+9

(b+2)²<a²<(b+3)²

Очевидно что квадраты натуральных чисел себя так не ведут, значит b=<6

После перебора получаем пары

a=2 b=1

a=8 b=6

$a^2=b^2+5b-2;$

$ 4a^2=4b^2+20b-8;$

$ 4a^2=(2b-5)^2-33;$

$ 4a^2-(2b-5)^2=-33;$

$(2a-2b-5)(2a+2b+5)=-33;$

$-33=-1\cdot 33=1\cdot (-33)=3\cdot (-11)=-3\cdot11.$

$\left\{\begin{matrix}2a-2b-5=-1 & \\ 2a+2b+5=33& \\\end{matrix}\right.\Rightarrow a=8, b=6$

$\left\{\begin{matrix}2a-2b-5=33 & \\ 2a+2b+5=-1& \\\end{matrix}\right.\Rightarrow \varnothing $

$\left\{\begin{matrix}2a-2b-5=1 & \\ 2a+2b+5=-33& \\\end{matrix}\right.\Rightarrow \varnothing$

$\left\{\begin{matrix}2a-2b-5=3 & \\ 2a+2b+5=-11& \\\end{matrix}\right.\Rightarrow \varnothing $

$\left\{\begin{matrix}2a-2b-5=-3 & \\ 2a+2b+5=11& \\\end{matrix}\right.a=2, b=1$