Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 9 класс

Даны неотрицательные действительные числа $a, b$ для которых $a+b=1$. Докажите следующее неравенство: $$\frac{a^2+b^2}{2} \le a^3+b^3.$$

Комментарий/решение

$a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=a²-ab+b²$

$a²+b²≤2a²-2ab+2b²$

$a²-2ab+b²≥0$

$(a-b)²≥0$