Математикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 9 сынып

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $AD$ биссектрисасы жүргізілген, $M$ және $N$ нүктелері сәйкесінше $AB$ және $AC$ қабырғаларының орталары. $MDN$ бұрышының мәні $BAC$ бұрышынан кем емес екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть K середина BC и прямая ND пересекает окружность девяти точек в точке L, тогда AMKN -параллелограмм отсюда $\angle MKN=\angle BAC$. $\angle NLM=\angle BAC$, так как они опираются на одну дугу .$\angle MDN$ -внешний угол $\triangle DNL$ ,по этому $\angle MDN= \angle MLN+ \angle DNL$. Отсюда $\angle MDN\geq \angle MLN=\angle BAC$, при этом равенство достигается только тогда, когда $\triangle ABC$ -равнобедренный или равносторонний.

Введем точки $K$ и $L$, что $K$ - середина $BC$, а $L$ - основание высоты, опущенной из вершины $A$($L$ лежит на отрезке $BC$).Заметим, что $N, M, K, L \in \omega$, ведь $\angle NKM=\angle NLM=\angle A$, поскольку $AMKN$ - параллелограмм, а $L$ - симметричная вершине $A$ точка относительно $MN$.

Итак, достаточно доказать, что $D$ лежит между $K$ и $L$, ведь тогда $\angle NDM \geq \angle NKM$, т.е. доказать, что основание биссектрисы лежит между основаниями высоты и медианы, что верно