Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур дистанционного этапа

Через центр прямоугольника провели две взаимно перпендикулярные прямые, не параллельные его сторонам. Оказалось, что они делят прямоугольник на четыре части равной площади. Может ли этот прямоугольник не быть квадратом? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Задача: Через центр прямоугольника проведены две прямые, не параллельные его сторонам и не перпендикулярные друг другу. Эти прямые делят площадь прямоугольника на четыре равные части. Может ли этот прямоугольник быть квадратом? (И. Рубанов) 

Ответ: Нет, не может. 

Объяснение: Любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его площадь пополам. Чтобы две такие прямые делили общую площадь на 4 равные части, угол между ними должен быть равен 90° (то есть они должны быть взаимно перпендикулярны). Так как по условию прямые не перпендикулярны, квадрат получиться не может.