Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур дистанционного этапа

Тіктөртбұрыштың центрі арқылы оның қабырғаларына параллель емес, өзара перпендикуляр екі түзу жүргізілді. Осы түзулер тіктөртбұрышты аудандары тең төрт бөлікке бөлетіні анықталды. Бұл тіктөртбұрыш шаршы болмауы мүмкін ба? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Задача: Через центр прямоугольника проведены две прямые, не параллельные его сторонам и не перпендикулярные друг другу. Эти прямые делят площадь прямоугольника на четыре равные части. Может ли этот прямоугольник быть квадратом? (И. Рубанов) 

Ответ: Нет, не может. 

Объяснение: Любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его площадь пополам. Чтобы две такие прямые делили общую площадь на 4 равные части, угол между ними должен быть равен 90° (то есть они должны быть взаимно перпендикулярны). Так как по условию прямые не перпендикулярны, квадрат получиться не может.