XX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2025 год

Высоты остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AB$ и $CH$ соответственно. На прямую $CM$ опущен перпендикуляр $HR$. Прямая $MN$ пересекает описанную окружность треугольника $CNR$ повторно в точке $T$. Обозначим через $P$ центр описанной окружности треугольника, образованного прямыми $CM$, $AH$ и $BH$. Докажите, что прямые $HP$ и $CT$ перпендикулярны. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть $CT\cup HP=F;$ $AH\cup BC=I;$ $BH\cup AC=J$

$\angle MIA=\angle MAI=\angle ICN=\angle INC\Rightarrow \angle MIN=90\Rightarrow MI^2=MR\cdot MC=MT\cdot MN\Rightarrow T$ середина $IJ$. Так как $CM$ симедиана $CT$ и медиана треугольнике $CIJ\Rightarrow \angle JHF=\angle AHR=\angle ICR=\angle JCF\Rightarrow \angle HFC=\angle HJC=90\blacksquare$

$C'$ - точка, которая диаметрально противоположна точке $C$ в $(ABC)$. В $\triangle CHC'$ $MN$ является средней линией, поэтому $MN||CC'$. $CC'$ перпендикулярна касательной к $(ABC)$ в точке $C$.

Известно, что $R\in (ABH)$, а также $(ABH)$ - это $(ABC)$, которую перенесли на $\vec{CH}$, поэтому касательная $(ABH)$ в $H$ (далее это будет направлением $l$) перпендикулярна $MN$. Достаточно показать, что $(l,HP)=(NT,TC)$.

$$\angle NTC = \angle NRC=\angle NCR=\angle BCM-\angle BCH=\angle BCM-\angle BAH=\angle BCM-\angle DHR,$$

поэтому нужно показать, что $\angle BCM=\angle PHD$.

$$\angle PHD=\angle RHA=\angle RBA=\angle RCB,$$

так как $AB$ касается $(RCB)$. $\angle RCB=\angle BCM$, что и требовалось.