Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2022 год

Кез келген оң $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_6$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $$ \root 4\of {a_1\over a_2+a_3+a_4}+ \root 4\of {a_2\over a_3+a_4+a_5}+ \ldots+ \root 4\of {a_6\over a_1+a_2+a_3} \geq 2. $$ ( А. Храбров )

Комментарий/решение

$$\sum \limits_{cyc}^{ }{\sqrt[4]{\dfrac{a_i}{a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}}}> \sum \limits_{cyc}^{ }{\sqrt[4]{\dfrac{ \sqrt{a_i}^2}{(\sqrt{a_{i+1}}+\sqrt{a_{i+2}}+\sqrt{a_{i+3}})^2}}}}= \sum \limits_{cyc}^{ }{\dfrac{ \sqrt{a_i}}{\sqrt{\sqrt{a_i}(\sqrt{a_{i+1}}+\sqrt{a_{i+2}}+\sqrt{a_{i+3}})}}}\geqslant \sum \limits_{cyc}^{ }{\dfrac{2\sqrt{a_i}}{\sqrt{a_i}+\sqrt{a_{i+1}}+\sqrt{a_{i+2}}+\sqrt{a_{i+3}}}}> \sum \limits_{i=1}^{n=6}{\dfrac{2\sqrt{a_i}}{\sum \limits_{i=1}^{n=6}{\sqrt{a_i}}}}=2$$