Областная олимпиада по математике, 2010 год, 11 класс

Имеется $n$ шашек ($n>2$) с разноцветными сторонами: одна сторона каждой шашки имеет синий цвет, а другая — красный (как для игры в реверси). Любое расположение этих шашек по одному на вершинах правильного $n$-угольника назовем $\it{конфигурацией}$. За один ход разрешается переворачивать три рядом стоящие шашки. Сколько различных конфигураций шашек можно получить из фиксированной начальной применением конечного числа ходов (две конфигурации считаются различными, если они отличаются цветом шашки хотя бы в одной вершине)?

Комментарий/решение

Ответ : для $n=3$, конфигурация одна

для $n>3;n\in N $, конфигураций $2^ n $

Решение. Пусть $ n=3$, тогда очевидно, что перевернуть получится только один раз. Ведь по условию придется перевернуть три рядом стоящие фишки.

Пусть $n=4$, тогда можно заметить, что 4 фишки синего цвета встретятся 1 раз; конфигураций из 3 фишек синего и 1 красного цвета - 4 раза (так как красная фишка может принять только 4 положения ) 2 фишки красного и две синего встретятся 6 раз, 3 красных и 1 синяя-4 раза, все синие-1 раз . Таким образом для $ n=4$ количество конфигураций будет $1+4+6+4+1=16=2^4$. Эта последовательность есть треугольник Паскаля, то есть для числа $n $ количество конфигураций $2^n $

Это очень нестрогое решение, если можете,дополните