Математикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып

Қабырғалары әр түрлі түсті болатын $n$ ыдыс бар ($n > 2$): әрбір ыдыстың бір жағы көк түсті, ал екінші жағы қызыл түсті(реверси ойынындағыдай). Осы ыдыстардың дұрыс $n$-қабырғалы көпбұрыштардың төбелерінде орналасуын конфигурация деп атаймыз. Бір жүрісте қатар тұрған үш ыдыс аударуға болады. Бастапқы мөлшерленген шекті жүріс санына байланысты ыдыстардың қанша түрлі конфигурациясын алуға болады? (екі конфигурация әр түрлі болады, егер олар кем дегенде бір төбедегі түсі әр түрлі болса. )

Комментарий/решение

Ответ : для $n=3$, конфигурация одна

для $n>3;n\in N $, конфигураций $2^ n $

Решение. Пусть $ n=3$, тогда очевидно, что перевернуть получится только один раз. Ведь по условию придется перевернуть три рядом стоящие фишки.

Пусть $n=4$, тогда можно заметить, что 4 фишки синего цвета встретятся 1 раз; конфигураций из 3 фишек синего и 1 красного цвета - 4 раза (так как красная фишка может принять только 4 положения ) 2 фишки красного и две синего встретятся 6 раз, 3 красных и 1 синяя-4 раза, все синие-1 раз . Таким образом для $ n=4$ количество конфигураций будет $1+4+6+4+1=16=2^4$. Эта последовательность есть треугольник Паскаля, то есть для числа $n $ количество конфигураций $2^n $

Это очень нестрогое решение, если можете,дополните