Областная олимпиада по математике, 2010 год, 11 класс

Для целых неотрицательных чисел $a < b$ обозначим через $M(a,b)$ арифметическое среднее множества чисел $\sqrt{i^2+3i+3}$, $a\leq i\leq b$, т. е. $ M(a,b) = \frac{{\sum\limits_{i = a}^b {\sqrt {i^2 + 3i + 3} } }} {{b - a + 1}}. $ Вычислите значение $[M(a,b)]$ (как функцию от $a$ и $b$), т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $M(a,b)$.

Комментарий/решение

Ответ :$ [M (a,b)]=a+1+\dfrac {1}{2}(b-a+1) $

Для начала покажем, что $$\sqrt {i^2+3i+3}=\sqrt {(i+1,5)^2+0,75}>i+1,5$$;

Если слагаемых 2 , то $[M (a,b)]=\dfrac{1}{2}(i +1,5+i+1+1,5)=i+2$.

Если продолжить дальше, то можно вывести ответ