Математикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 11 сынып

$a < b$ теріс емес бүтін сандары үшін $M(a,b)$ арқылы $\sqrt{i^2+3i+3}$, $a\leq i\leq b$ сандар жиынының арифметикалық ортасын белгілейік, яғни $ M(a,b) = \dfrac{{\sum\limits_{i = a}^b {\sqrt {i^2 + 3i + 3} } }} {{b - a + 1}}. $ $[M(a,b)]$ мәнін есептеңіздер ($a$ және $b$–дан тәуелді функция ретінде), яғни $M(a,b)$ –нан аспайтын ең үлкен бүтін сан.

Комментарий/решение

Ответ :$ [M (a,b)]=a+1+\dfrac {1}{2}(b-a+1) $

Для начала покажем, что $$\sqrt {i^2+3i+3}=\sqrt {(i+1,5)^2+0,75}>i+1,5$$;

Если слагаемых 2 , то $[M (a,b)]=\dfrac{1}{2}(i +1,5+i+1+1,5)=i+2$.

Если продолжить дальше, то можно вывести ответ