Областная олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс

Пусть точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, а точки $A_0$, $B_0$ и $C_0$ — центры окружностей, описанных около треугольников $BCO$, $ACO$ и $ABO$, соответственно. Докажите, что прямые $AA_0$ , $BB_0$ и $CC_0$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Рассмотрим одну прямую , положим что $BB_{0}$ пересекает $AC$ в точке $N$ , тогда из треугольников $ABN,CBN$ получим $ \dfrac{AN}{sin \angle ABN}=\dfrac{BN}{sin \angle BAC}$ и $ \dfrac{CN}{sin \angle NBC} = \dfrac{BN}{sin \angle ACB}$ откуда $\dfrac{CN}{AN} = \dfrac{ sin \angle NBC \cdot sin \angle BAC}{ sin \angle NBA \cdot sin \angle ACB}$ , но из треугольников $ABB_{0}$ и $CBB_{0}$ получим

$sin \angle NBC=\dfrac{-R_{AB0C} \cdot cos( \angle ACB+2 \cdot ABC)}{BB_{0}}$ и $sin \angle NBA = \dfrac{-R_{AB_{0}C} \cdot cos( \angle BAC+2 \angle ABC)}{BB_{0}}$ , то есть в общем получим

1)$\dfrac{CN}{AN} = \dfrac{sin \angle BAC \cdot cos(\angle ACB+2 \angle ABC)}{sin \angle ACB \cdot cos(\angle BAC+2 \angle ABC)}$

Аналогично

2)$\dfrac{AM}{BM} = \dfrac{sin \angle ABC \cdot cos(\angle BAC+2 \angle ACB)}{sin \angle BAC \cdot cos(\angle ABC+2 \angle ACB)}$

3)$\dfrac{BG}{CG} = \dfrac{sin \angle ACB \cdot cos( \angle ABC+2 \angle BAC)}{sin \angle ABC \cdot cos(\angle ACB +2 \angle BAC)}$

где $M,G$ определены как точка $N$

Тогда по теореме Чевы $\dfrac{CN}{AN} \cdot \dfrac{AM}{BM} \cdot \dfrac{BG}{CG} = 1$

Заменим $\angle ABC=b, \angle BAC=a , \angle ACB = c$

тогда надо доказать что $cos(c+2b) \cdot cos(a+2c) \cdot cos(b+2a) = cos(a+2b) \cdot cos(b+2c) \cdot cos(c+2a)$

Учитывая то что $a+b+c=180^{\circ}$ получим верное тождество , после мелких преобразований.

Значит $AA_{0},BB_{0},CC_{0}$ пересекаются в одной точке .