Математикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып
Комментарий/решение:
Рассмотрим одну прямую , положим что BB0 пересекает AC в точке N , тогда из треугольников ABN,CBN получим ANsin∠ABN=BNsin∠BAC и CNsin∠NBC=BNsin∠ACB откуда CNAN=sin∠NBC⋅sin∠BACsin∠NBA⋅sin∠ACB , но из треугольников ABB0 и CBB0 получим
sin∠NBC=−RAB0C⋅cos(∠ACB+2⋅ABC)BB0 и sin∠NBA=−RAB0C⋅cos(∠BAC+2∠ABC)BB0 , то есть в общем получим
1)CNAN=sin∠BAC⋅cos(∠ACB+2∠ABC)sin∠ACB⋅cos(∠BAC+2∠ABC)
Аналогично
2)AMBM=sin∠ABC⋅cos(∠BAC+2∠ACB)sin∠BAC⋅cos(∠ABC+2∠ACB)
3)BGCG=sin∠ACB⋅cos(∠ABC+2∠BAC)sin∠ABC⋅cos(∠ACB+2∠BAC)
где M,G определены как точка N
Тогда по теореме Чевы CNAN⋅AMBM⋅BGCG=1
Заменим ∠ABC=b,∠BAC=a,∠ACB=c
тогда надо доказать что cos(c+2b)⋅cos(a+2c)⋅cos(b+2a)=cos(a+2b)⋅cos(b+2c)⋅cos(c+2a)
Учитывая то что a+b+c=180∘ получим верное тождество , после мелких преобразований.
Значит AA0,BB0,CC0 пересекаются в одной точке .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.