Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 10 сынып


Сүйірбұрышты ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі O нүктесі болсын, ал A0, B0 және C0 нүктелері сәйкесінше BCO, ACO және ABO үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің центрлері. AA0 , BB0 және CC0 түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1
8 года 4 месяца назад #

Рассмотрим одну прямую , положим что BB0 пересекает AC в точке N , тогда из треугольников ABN,CBN получим ANsinABN=BNsinBAC и CNsinNBC=BNsinACB откуда CNAN=sinNBCsinBACsinNBAsinACB , но из треугольников ABB0 и CBB0 получим

sinNBC=RAB0Ccos(ACB+2ABC)BB0 и sinNBA=RAB0Ccos(BAC+2ABC)BB0 , то есть в общем получим

1)CNAN=sinBACcos(ACB+2ABC)sinACBcos(BAC+2ABC)

Аналогично

2)AMBM=sinABCcos(BAC+2ACB)sinBACcos(ABC+2ACB)

3)BGCG=sinACBcos(ABC+2BAC)sinABCcos(ACB+2BAC)

где M,G определены как точка N

Тогда по теореме Чевы CNANAMBMBGCG=1

Заменим ABC=b,BAC=a,ACB=c

тогда надо доказать что cos(c+2b)cos(a+2c)cos(b+2a)=cos(a+2b)cos(b+2c)cos(c+2a)

Учитывая то что a+b+c=180 получим верное тождество , после мелких преобразований.

Значит AA0,BB0,CC0 пересекаются в одной точке .