Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
Решение предложил Сапаргали Сейтенов.
Прежде чем обсуждать решение задачи, поговорим о перестановках 4-ой степени. Раз речь идет о четырех картах, речь будет идти о четырех числах. Перестановкой 4-ой степени называется расположение чисел 1, 2, 3, 4 в каком-то порядке. Существует 4!=24 перестановок 4-ой степени:
\begin{array}{c|c}№&Перестановка\\\hline0&1234\\1&1243\\2&1324\\3&1342\\4&1423\\5&1432\end{array}\begin{array}{c|c}№&Перестановка\\\hline6&2134\\7&2143\\8&2314\\9&2341\\10&2413\\11&2431\end{array}\begin{array}{c|c}№&Перестановка\\\hline12&3124\\13&3142\\14&3214\\15&3241\\16&3412\\17&3421\end{array}\begin{array}{c|c}№&Перестановка\\\hline18&4123\\19&4132\\20&4213\\21&4231\\22&4312\\23&4321\end{array}
Здесь перестановки перечислены в лексикографическом (словарном) порядке, т.е., сравниваются первые цифры. Если равны первые цифры, то сравниваются вторые цифры. Если k-я цифра у одной перестановки меньше, чем у другой, то первая перестановка считается меньшей. Фокусники могут выбрать и другую систему нумерации перестановок, но мы будем считать, что они придерживаются традиционной системы.
Вместо чисел 1, 2, 3, 4 можно выбирать и другие различные 4 числа, например: если даны числа 17, 23, 72, 99, то в этой таблице вместо чисел 1, 2, 3, 4 надо поставить соответственно числа 17, 23, 72, 99, расположенные в возрастающем порядке. В этом случае первые 6 перестановок получат следующие номера: 0–17, 23, 72, 99; 1–17, 23, 99, 72; 3–17, 72, 23, 99; 4–17, 72, 23, 99; 5–17, 72, 99, 23.
Пусть участники 1, 2, 3 выбрали карту с номерами a_1, a_2, a_3. Четвертая карта имеет номер a_4, причем он выбирает такой номер a_4, чтобы первый фокусник мог однозначно решить задачу.
Всегда найдутся 24 последовательных числа от 1 до 100, отличные от a_1, a_2, a_3. Среди этих 24 чисел найдутся все остатки при делении на 24. Из этих чисел второй фокусник выберает карту с наименьшим номером a_4 так, чтобы остаток от деления суммы a_1 + a_2 + a_3 + a_4 на 24 был равен номеру перестановки a_1, a_2, a_3, a_4.
Например, если a_1 = 99, a_2 = 72, a_3 = 36, то число a_4 можно выбрать в промежутках [1, 24], [37, 60]. Если выбрать число a_4 в промежутке [1, 24], то перестановка a_1, a_2, a_3, a_4 будет соответствовать перестановке 4, 3, 2, 1, которая имеет номер 23. Чтобы сумма a_1 + a_2 + a_3 + a_4 при делении на 24 давала остаток 23, нужно выбрать a_4 = 8.
Число a_4 можно выбрать и в промежутке [37, 60]. В этом случае перестановка a_1, a_2, a_3, a_4 будет соответствовать перестановке 4, 3, 1, 2, которая имеет номер 22. Тогда нужно выбрать в качестве a_4 число 55.
Пусть теперь a_1 = 72, a_2 = 99, a_3 = 36. Как и в предыдущем случае, число a_4 также можно выбрать в промежутках [1, 24], [37, 60]. Если выбрать число a_4 в промежутке [1, 24], то перестановка a_1, a_2, a_3, a_4 будет соответствовать перестановке 3, 4, 2, 1, которая имеет номер 17. Чтобы сумма a_1 + a_2 + a_3 + a_4 при делении на 24 давала остаток 17, нужно выбрать a_4 = 2.
Число a_4 можно выбрать и в промежутке [37, 60]. В этом случае перестановка a_1, a_2, a_3, a_4 будет соответствовать перестановке 3, 4, 1, 2, которая имеет номер 16. Тогда можно выбрать в качестве a_4 число 49.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.