Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып


Кез келген оң нақты x, y сандары үшін (x+y)f(f(x)y)=x2f(f(x)+f(y)) теңдік орындалатынын барлық f:(0,+)(0,+) функцияларын анықтаңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3 | Модератормен тексерілді
8 года 4 месяца назад #

b_Ответ._b Такой функции не существует.

b_Решение._b Тождество можно переписать в виде

x+yx2=f(f(x)+f(y))f(f(x)y).(1)Если f(a)=f(b), для каких либо a и b, то f(f(a)+f(y))=f(f(b)+f(y)).

Подставив в (1) x=a, получим a+ya2=f(f(a)+f(y))f(f(a)y);(2)

подставив x=b, получим

b+yb2=f(f(b)+f(y))f(f(b)y).(3)

Из (2) и (3) получим

a+ya2=b+yb2(ba)(ab+y(a+b))a2b2=0,

откуда немедленно следует равенство a=b, так как

y это число из интервала (0,+). Следовательно, f "--- инъективная функция.

Пусть P(x,y) будет означать, что x и y удовлетворяют тождеству

(x+y)f(f(x)y)=x2f(f(x)+f(y)).

Тогда из

P(32,34), следует

f(34f(32))=f(f(32)+f(34)), а из инъективности следует, что

34f(32)=f(32)+f(34) или

14f(32)+f(34)=0. А последнее равенство противоречит условию

f:(0,+)(0,+).