Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 11 сынып
Комментарий/решение:
b_Ответ._b Такой функции не существует.
b_Решение._b Тождество можно переписать в виде
x+yx2=f(f(x)+f(y))f(f(x)y).(1)Если f(a)=f(b), для каких либо a и b, то f(f(a)+f(y))=f(f(b)+f(y)).
Подставив в (1) x=a, получим a+ya2=f(f(a)+f(y))f(f(a)y);(2)
подставив x=b, получим
b+yb2=f(f(b)+f(y))f(f(b)y).(3)
Из (2) и (3) получим
a+ya2=b+yb2⇒(b−a)(ab+y(a+b))a2b2=0,
откуда немедленно следует равенство a=b, так как
y это число из интервала (0,+∞). Следовательно, f "--- инъективная функция.
Пусть P(x,y) будет означать, что x и y удовлетворяют тождеству
(x+y)f(f(x)y)=x2f(f(x)+f(y)).
Тогда из
P(32,34), следует
f(34f(32))=f(f(32)+f(34)), а из инъективности следует, что
34f(32)=f(32)+f(34) или
14f(32)+f(34)=0. А последнее равенство противоречит условию
f:(0,+∞)→(0,+∞).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.