Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.

$ABC$ үшбұрышында $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ — оған сырттай сызылған шеңбердiң центрi, ал $H$ — оның ортоцентрi (биiктiктердiң қиылысу нүктесi). $BD=BH$ болатындай $BC$-ның бойынан $D$ нүктесi алынған. $BE=BO$ болатындай $AB$-ның бойынан $E$ нүктесi алынған. Егер $BO=1$ болса, $DE$-ның ұзындығын табыңыз.

Комментарий/решение

$CH\cup AB=P;$ $Q$ середина $BC.$ $2\angle OBQ=180-2\angle BOQ=90-\angle BOC=180-2\angle BAC=2\angle HBP;$ $\angle BCP=30\longrightarrow BQ=QC=BP\Longrightarrow BD=BH=BO=BE\longrightarrow BO=DE=1$

откуда БД стало равно БО?

$BH=BP;$ $ \angle HBP=\angle OBQ;$ $\angle BQO=\angle BPH=90\Rightarrow$ $\triangle BHP=\triangle BOP\Rightarrow BH=BO\blacksquare$