Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2022-2023 учебный год. 8 класс.

В остроугольном треугольнике $ABC$ ($BA\ne BC$) проведены высоты $BE$ и $CF$. Точки $M,N$ — середины сторон $BC, CA$ соответственно. Прямая $CF$ пересекает описанную окружность треугольника $BEN$ в точках $X$ и $Y$. Докажите, что точки $A,M,X,Y$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Пусть $AD$ - высота и $H$ - ортоцентр. Покажем, что точки $X,D,Y$ и $A$ лежат на одной окружности, это верно, поскольку $BDEA$ - вписанный, то $HA\cdot HD=HB\cdot HE=HX\cdot HY$, учитывая вписанность $(BYENX)$. Поскольку опять таки $AEDB$ - вписанный, верно что, $CE\cdot AC=BC\cdot CD$, значит и верно, что $CE\cdot \frac{AC}{2}=\frac{BC}{2} \cdot CD$, отсюда $CE\cdot CN=CM\cdot CD$, значит $DMXY$ - все таки вписанный. Так как окружности $(XDY)$ и $(XDY)$, одни и теже, значит и окружности $(XDYA)$ и $(DMXY)$, тоже одни и те же. Значит, точки $A,M,X$ и $Y$ действительно лежат на одной окружности.