Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2022-2023 учебный год. 8 класс.

Найдите все положительные целые числа $n>2$, такие что $n=a^{3}+b^{3}$, где $a$ — наименьший положительный делитель $n$, больше 1, а $b$ — произвольный положительный делитель $n$.

Комментарий/решение

орындалмайды

Шешімі жок

Давайте сперва проверим их четность.(Понятно что а простое).

1)нечет+нечет=ч,но тогда самый наименьший делитель n будет 2 но а у нас нечет.

2)неч+чет=неч у нас b делиться на n.Но это невозможне нечет не делится на чет.

Значит а чет.Так как а простое значит а=2.

Допустим n=bk.Тогда 8=b(k-b^2)

Теперь расмотрим случай.Подходящие ответы (а;b)={(2.2);(2;4);(2;8)}