Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2022-2023 учебный год. 8 класс.

Найдите все положительные целые числа $n>2$, такие что $n=a^{3}+b^{3}$, где $a$ — наименьший положительный делитель $n$, больше 1, а $b$ — произвольный положительный делитель $n$.

Комментарий/решение

орындалмайды

Шешімі жок

Легко понять,что a- простое:

Рассматривая по mod b поймем,что а³ делится на b.

1)b=1:n=a³+1.Если a>2,то n делится на 2,но тогда 2- наименьший делитель n.

Значит a=2 и n=9,но этот ответ не подходит.

2)b=a:n=2a³ и аналогично 2- наименьший делитель n и а=2->n=16,a=b=2.

3)b=a²:n=a³+a⁶=a³(a³+1).Очевидно что один из скобок делится на 2 и тогда a=2 и n=72,b=4

4)b=a³:n=a³+a⁹=a³(a⁶+1),аналогично получим a=2,n=520,b=8

Давайте сперва проверим их четность.(Понятно что а простое).

1)нечет+нечет=ч,но тогда самый наименьший делитель n будет 2 но а у нас нечет.

2)неч+чет=неч у нас b делиться на n.Но это невозможне нечет не делится на чет.

Значит а чет.Так как а простое значит а=2.

Допустим n=bk.Тогда 8=b(k-b^2)

Теперь расмотрим случай.Подходящие ответы (а;b)={(2.2);(2;4);(2;8)}