8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур

На доске записаны 15 натуральных чисел, каждое число больше 1 и меньше 2025. Известно, что среди записанных чисел любые два числа взаимно просты. Докажите, среди чисел на доске есть простое число. (Два числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1.)

Комментарий/решение

Допустим, что все числа на доске-составные. Тогда Каждое число на доске делится на хотя бы два простых. И каждое число должно делится хотя бы на одно простое меньше 45. Но кол-во простых меньших 45 всего 14, т.е. одно из 15 чисел будет больше 2025. Противоречие