Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2025 год. Косово

$I$ нүктесі — сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер центрі. $BI$ және $CI$ түзулері $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңберін $P \ne B$ және $Q \ne C$ нүктелерінде қияды. $R$ және $S$ нүктелері келесідей нүктелер: $AQRB$ және $ACSP$ төртбұрыштары параллелограммдар (яғни $AQ \parallel RB$, $AB \parallel QR$, $AC \parallel SP$, $AP \parallel CS$). $T$ — $RB$ және $SC$ түзулерінің қиылысу нүктесі. $R$, $S$, $T$, $I$ нүктелері бір шеңбердің бойында жатқанын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$TD\parallel AB\Longrightarrow \angle BIC=90+\dfrac{\angle ABC}{2}=\angle QAP=\angle BAQ+\angle BAP=\angle DTB+\angle DTC=\angle BTC \Longrightarrow B,T,I,C$ лежат на одной окружности, $\angle IBR=180-\angle IBT=180-\angle ICT=\angle ICS.$ $\angle BQI=\angle BQC=\angle BPC=\angle IPC;$ $CP=PI;$ $BQ=QI\Longrightarrow \triangle BQI\sim \triangle CPI\Longrightarrow \dfrac{IB}{IC}=\dfrac{BQ}{CP}=\dfrac{BR}{CS}\Longrightarrow \triangle IBR\sim \triangle ICS\Longrightarrow \angle IRT=\angle IRB=\angle ISC=\angle IST\Longrightarrow R,S,T,$ и $I$ лежат на одной окружности $(BQ=AQ=BR;$ $CP=AP=CS)$.