Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2025 год. Косово

Бесконечную возрастающую последовательность $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots$ положительных целых чисел назовём центральной, если для каждого положительного целого $n$ среднее арифметическое первых $a_n$ членов последовательности равно $a_n$. Докажите, что существует бесконечная последовательность положительных целых чисел $b_1$, $b_2$, $b_3$, $\ldots$ такая, что для любой центральной последовательности $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ существует бесконечно много $n$, что $a_n = b_n$.