Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2023 год. Словения

$s \geqslant 2$ — бүтін оң сан. Әрбір бүтін оң сан $k$ үшін оның кері $k'$ мәнін анықтаймыз: $k = as + b$ түрінде жазып, мұндағы $a, b$ — теріс емес бүтін сандар және $b < s$, содан кейін $k' = bs + a$ деп қоямыз. $n$ — оң бүтін сан болсын, және $d_1 = n$, ал $d_{i+1}$ — $d_i$ санының кері мәні болатын $d_1, d_2, \ldots$ тізбегін құрайық.
   Егер бұл тізбекте 1 саны кездессе, онда $n$ санын $s^2-1$ санына бөлгенде қалдық 1-ге немесе $s$-ке тең екенін дәлелдеңіз, және оған кері қасиетті дәлелдеңіз: егер $n$ санын $s^2-1$ санына бөлгенде қалдық 1-ге немесе $s$-ке тең болса, онда бұл тізбекте 1 саны кездеседі.