Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2022 год. Венгрия

Назовём бесконечную последовательность натуральных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots$ хорошей, если выполнены следующие два условия:
   (1) $a_{1}$ — полный квадрат,
   (2) для любого целого числа $n \geq 2$, число $a_{n}$ — наименьшее натуральное число такое, что сумма $$ n a_{1}+(n-1) a_{2}+\ldots+2 a_{n-1}+a_{n} $$ является полным квадратом.
   Докажите, что для любой хорошей последовательности $a_{1}, a_{2}, \ldots$ существует натуральное число $k$ такое, что $a_{n}=a_{k}$ для всех целых чисел $n \geq k$.