Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2021 год. Грузия

Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ — произвольная точка на стороне $BC$. Прямая, проходящая через $D$ перпендикулярно $BI$, пересекает прямую $CI$ в точке $E$, а прямая, проходящая через $D$ перпендикулярно $CI$, пересекает прямую $BI$ в точке $F$. Докажите, что точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $EF$, лежит на прямой $BC$.

Комментарий/решение

$G=DE\cup AB;$ $H=DF\cup AC$ $\angle DBI=\angle GBI;$ $DG\bot BI\Longrightarrow$ $G,$ $H$ симметричен относительно точки $D$ относительно $BI,$ $CI$, соответственно $\Longrightarrow GI=DI=HI;$ $\angle GAI=\angle HAI\Longrightarrow AGIH$ вписанный. $\angle AIB=90+\angle ICH=\angle FHA\Longrightarrow AGIFH.$ Аналогично, $AGEIFH$ вписанный, следовательно, $AEIF$ вписанный. Пусть $X,Y$ симметричны относительно $A$ относительно $BI,CI$. Тогда $BA=BX; BI\bot AX\Longrightarrow \angle XBI=\angle ABI=\angle IBC\Longrightarrow X,Y$ лежит на прямой $BC$, Т$o$ симметрично точке $A$ относительно прямой $EF,$ лежит на прямой $BC$ (прямая Симпсона)

$DE,DF \cap AB,AC=P,Q$

Отметим $\angle B=2\alpha, \angle C=2\beta$

$\angle EDF=\alpha+\beta=90-\angle BDF=90-\angle IAC =>> IAQF-cycle$.

Аналогично $IAPE$ вписанный, и очевидно что $PQEF$ вписан. Теперь пойдем от противного: если $AQFIEP$ не лежат на одной окружности тогда рад оси $(IAQF, IAPE, PQFE)$ пересекаются в одной точке. Но $AI$ не всегда проходит через $PE \cap QF=D$ так как он произвольный отсюда $AQFIEP$ вписан( обозначим как $\omega$).

Теперь заметим что так как $(BHC)$ симметричен $(ABC)$, тоже самое $\omega$ симметричен $(DEF).$ Отражение $A$ обозначим как $A’$ лежит на $(DEF)$. Докажем что $\angle A’DF=90-\beta=\angle CDQ$ отсюда будет следовать задача.

$\angle A’DF=\angle A’EF=\angle AEF=90-\beta.$