Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2020 год. Нидерланды

Пусть $m > 1$ — целое число. Последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ задана равенствами $a_{1}=a_{2}=1, a_{3}=4$, а для всех $n \geqslant 4$: $$ a_{n}=m\left(a_{n-1}+a_{n-2}\right)-a_{n-3}.$$ Найдите все целые $m$ такие, что каждый член последовательности является точным квадратом.