қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2020 год. Нидерланды
Задача №1. Целые положительные числа $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{3030}$ таковы, что $2 a_{n+2}=a_{n+1}+4 a_{n}$ при всех $n=0,1,2, \ldots, 3028.$ Докажите, что хотя бы одно из чисел $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{3030}$ делится на $2^{2020}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Найдите все наборы ($x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2020}$) неотрицательных вещественных чисел таких, что выполняются следующие три условия:
(i) $x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \ldots \leqslant x_{2020}$;
(ii) $x_{2020} \leqslant x_{1}+1$;
(iii) существует перестановка ($y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2020}$) набора ($x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2020}$) такая, что $$ \sum_{i=1}^{2020}\left(\left(x_{i}+1\right)\left(y_{i}+1\right)\right)^{2}=8 \sum_{i=1}^{2020} x_{i}^{3}.$$ Перестановкой набора называется набор такой же длины, что и исходный, с теми же элементами, но элементы в нём могут быть расположены в ином порядке.
Например, $(2,1,2)$ является перестановкой $(1,2,2)$, и они оба являются перестановками набора $(2,2,1)$. Отметим, что любой набор является своей перестановкой.
комментарий/решение
(i) $x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \ldots \leqslant x_{2020}$;
(ii) $x_{2020} \leqslant x_{1}+1$;
(iii) существует перестановка ($y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2020}$) набора ($x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2020}$) такая, что $$ \sum_{i=1}^{2020}\left(\left(x_{i}+1\right)\left(y_{i}+1\right)\right)^{2}=8 \sum_{i=1}^{2020} x_{i}^{3}.$$ Перестановкой набора называется набор такой же длины, что и исходный, с теми же элементами, но элементы в нём могут быть расположены в ином порядке.
Например, $(2,1,2)$ является перестановкой $(1,2,2)$, и они оба являются перестановками набора $(2,2,1)$. Отметим, что любой набор является своей перестановкой.
комментарий/решение
Задача №3. Пусть $ABCDEF$ — выпуклый шестиугольник такой, что $\angle A=\angle C=\angle E$ и $\angle B=\angle D=\angle F$ и биссектрисы внутренних углов $\angle A,$ $\angle C$ и $\angle E$ пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектрисы внутренних углов $\angle B,$ $\angle D$ и $\angle F$ тоже пересекаются в одной точке. Обратим внимание, что внутренний угол $\angle A=\angle FAB$. Другие внутренние углы шестиугольника определяются аналогично.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Перестановку целых чисел $1,2, \ldots, m$ будем называть свежей, если не существует положительного целого $k < m$ такого, что первые $k$ чисел в этой перестановке — это $1,2, \ldots, k$ в некотором порядке. Пусть $f_{m}$ — количество всех свежих перестановок чисел $1,2, \ldots, m$.
Докажите, что $f_{n} \geqslant n \cdot f_{n-1}$ для всех $n \geqslant 3$.
Например, если $m=4$, то перестановка ($3,1,4,2$) является свежей, а перестановка ($2,3,1,4$) не является.
комментарий/решение
Докажите, что $f_{n} \geqslant n \cdot f_{n-1}$ для всех $n \geqslant 3$.
Например, если $m=4$, то перестановка ($3,1,4,2$) является свежей, а перестановка ($2,3,1,4$) не является.
комментарий/решение
Задача №5. Рассмотрим треугольник $ABC$, у которого $\angle BCA > 90^{\circ}$. Радиус окружности $\Gamma$, описанной около треугольника $ABC$, равен $R$. На отрезке $AB$ нашлась точка $P$ такая, что $PB=$ $PC$, а длина $PA$ равна $R$. Серединный перпендикуляр к $PB$ пересекает $\Gamma$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что $P$ является центром вписанной окружности треугольника $CDE$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Пусть $m > 1$ — целое число. Последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ задана равенствами $a_{1}=a_{2}=1, a_{3}=4$, а для всех $n \geqslant 4$: $$ a_{n}=m\left(a_{n-1}+a_{n-2}\right)-a_{n-3}.$$ Найдите все целые $m$ такие, что каждый член последовательности является точным квадратом.
комментарий/решение
комментарий/решение