қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2020 год. Нидерланды
Есеп №1. Натурал $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{3030}$ сандары келесi шартты қанағаттандырады: $2 a_{n+2}=a_{n+1}+4 a_{n}$ барлық $n=0,1,2, \ldots, 3028$ үшiн. $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{3030}$ сандарының кемiнде бiреуi $2^{2020}$ санына бөлiнетiнiн дәлелдеңiз.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Келесi үш шарттарды қанағаттандыратын, терiс емес нақты сандардан тұратын барлық ($x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2020}$) сандарын табыңыз:
(i) $x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \ldots \leqslant x_{2020}$;
(ii) $x_{2020} \leqslant x_{1}+1$;
(iii) ($x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2020}$) сандарының $$ \sum_{i=1}^{2020}\left(\left(x_{i}+1\right)\left(y_{i}+1\right)\right)^{2}=8 \sum_{i=1}^{2020} x_{i}^{3}$$ теңдiгi орындалатындай ($y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2020}$) орын алмастыруы бар.
Сандардың орын алмастыруы дегенiмiз — осы сандарды бiр қатарға қандай-да бiр (мүмкiн, басқа) ретпен жазылуын айтады. Мысалға, $(2, 1, 2)$ сандары $(1, 2, 2)$ сандарының орын алмастыруы болып саналады, және екеуi де $(2, 2, 1)$ сандарының орын алмастыруы болады. Кез келген жиынтық өзiнiң орын алмастыру болатынын атап өтейiк.
комментарий/решение
(i) $x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \ldots \leqslant x_{2020}$;
(ii) $x_{2020} \leqslant x_{1}+1$;
(iii) ($x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2020}$) сандарының $$ \sum_{i=1}^{2020}\left(\left(x_{i}+1\right)\left(y_{i}+1\right)\right)^{2}=8 \sum_{i=1}^{2020} x_{i}^{3}$$ теңдiгi орындалатындай ($y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2020}$) орын алмастыруы бар.
Сандардың орын алмастыруы дегенiмiз — осы сандарды бiр қатарға қандай-да бiр (мүмкiн, басқа) ретпен жазылуын айтады. Мысалға, $(2, 1, 2)$ сандары $(1, 2, 2)$ сандарының орын алмастыруы болып саналады, және екеуi де $(2, 2, 1)$ сандарының орын алмастыруы болады. Кез келген жиынтық өзiнiң орын алмастыру болатынын атап өтейiк.
комментарий/решение
Есеп №3. Дөңес $ABCDEF$ алтыбұрышында $\angle A=\angle C=\angle E$ және $\angle B=\angle D=\angle F$, ал $\angle A,$ $\angle C$ және $\angle E$ бұрыштарының iшкi биссектрисалары бiр нүктеде қиылысады. $\angle B,$ $\angle D$ және $\angle F$ бұрыштарының да iшкi биссектрисалары бiр нүктеде қиылысатынын дәлелдеңiз. $A$ бұрышының iшкi бұрышы деп $\angle A=\angle FAB$ бұрышын айтамыз. Басқа iшкi бұрыштар дәл сол сияқты анықталады.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Егер $1,2, \ldots, m$ сандарының орын алмастыруында, алдыңғы $k$ сан $1,2, \ldots, k$ сандарының қандай да бiр орын алмастыруы болатындай натурал $k$ < $m$ саны табылмаса, онда ондай орын алмастыруыды жаңа деп атайымыз. $1,2, \ldots, m$ сандарының жаңа орын алмастыруларының санын $f_{m}$ арқылы белгiлейiк. Барлық $n \geqslant 3$ үшiн $f_{n} \geqslant n \cdot f_{n-1}$ теңсiздiгiн дәлелдеңiз. Мысалы, егер $m=4$ болса, онда ($3,1,4,2$) орын алмастыруы жаңа болып саналады, ал ($2,3,1,4$) орын алмастыруы — жаңа емес.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Радиусы $R$ болатын $\Gamma$ шеңберiне $\angle BCA>90^{\circ}$ болатын $ABC$ үшбұрышы iштей сызылған. $AB$ кесiндiсiнде белгiленген $P$ нүктесi үшiн $PB=PC$ және $PA=R$ теңдiктерi орындалады. $PB$ кесiндiсiнiң орта перпендикуляры $\Gamma$-ны $D$ және $E$ нүктелерiнде қияды. $P$ нүктесiнiң $CDE$ үшбұрышына iштей сызылған шеңбердiң центрi екенiн дәлелдеңiз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $m > 1$ — бүтiн сан болсын. $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ тiзбегi келесiдей анықталған: $a_{1}=a_{2}=1, a_{3}=4$ және барлық $n > 4$ үшiн, $$ a_{n}=m\left(a_{n-1}+a_{n-2}\right)-a_{n-3}.$$ $\{a_n\}$ тiзбегiнiң барлық мүшелерi толық квадрат болатындай барлық бүтiн $m$ сандарын табыңыз.
комментарий/решение
комментарий/решение