Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2020 год. Нидерланды

Пусть $ABCDEF$ — выпуклый шестиугольник такой, что $\angle A=\angle C=\angle E$ и $\angle B=\angle D=\angle F$ и биссектрисы внутренних углов $\angle A,$ $\angle C$ и $\angle E$ пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектрисы внутренних углов $\angle B,$ $\angle D$ и $\angle F$ тоже пересекаются в одной точке. Обратим внимание, что внутренний угол $\angle A=\angle FAB$. Другие внутренние углы шестиугольника определяются аналогично.

Комментарий/решение

Если, соответственно. :

$G,K,I$ точки пересечения $(AB;CD), (AB;FE), (FE;CD)$

$L,J,H$ точки пересечения $(AF;BC), (AF;DE), (BC;DE)$

То из условия следует что $GKI, LJH$ равносторонние треугольники.

По условию $3\angle A + 3\angle B =720^{\circ}$ откуда $\angle A + \angle B = 240^{\circ}$

1) Покажем что биссектрисы $(\angle A; \angle D), (\angle B; \angle E), (\angle C; \angle F)$ в таком шестиугольнике параллельны.

Покажем для $(\angle A; \angle D)$:

Если биссектриса $\angle A$ пересекает $DJ$ в $N$ тогда в $AJN$ получается $\angle N = 120^{\circ}-\dfrac{\angle A}{2} = \dfrac{\angle D}{2}$ то есть параллельны, аналогично и для остальных.

2) Отразим симметрично $F,E,J$ в $F',E',J'$ относительно $AN$ тогда $J'N || GD, \ F'E' || BC$

тогда биссектрисы $\angle E'$ и $\angle C$ параллельны, значит если биссектрисы $A,C,E$ пересекаются, то и пересекаются в $AN$ биссектрисы $E'$ и $E$ но тогда биссектрисы $F'$ и $F$ так же пересекаются на $AN$ а значит и $\angle B, \angle D, \angle F$