Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2019 год. Украина

Алина рисует в окружности 2019 хорд, все концы которых различны. Точка считается отмеченной, если она либо
   (i) одна из 4038 концов хорд; либо
   (ii) точка пересечения по крайней мере двух хорд.
   Каждой отмеченной точке Алина ставит в соответствие число. Из 4038 точек, удовлетворяющих критерию (i), Алина 2019 точкам ставит в соответствие число 0, а остальным 2019 точкам число 1. Каждой точке, удовлетворяющей критерию (ii) она ставит в соответствие произвольное целое число (не обязательно положительное).
   Вместе с каждой хордой Алина рассматривает отрезки, соединяющие последовательные отмеченные точки. (На хорде с $k$ отмеченными точками есть $k-1$ такой отрезок.) Рядом с каждым таким отрезком она записывает жёлтым сумму чисел, соответствующих его концам, и синим модуль их разности.
   Алина обнаружила, что есть всего $N+1$ чисел, записанным жёлтым, и они принимают каждое значение $0,1, \ldots, N$ ровно один раз. Докажите, что по крайней мере одно число, записанное синим, делится на 3.
   (Хорда — это отрезок, соединяющий две различные точки окружности.)