Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2019 год. Украина

Пусть $n \geq 2$ — целое число, и пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ — положительные целые числа. Докажите, что существуют положительные целые числа $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$, удовлетворяющие следующим трём условиям:
   (A) $a_{i} \leq b_{i}$ при $i=1,2, \ldots, n$;
   (B) остатки от деления чисел $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ на $n$ попарно различны; и
   (C) $b_{1}+\cdots+b_{n} \leq n\left(\frac{n-1}{2}+\left[\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}\right]\right)$.
   (Здесь через $[x]$ обозначена целая часть вещественного числа $x$, то есть, наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)