Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2018 год. Италия

Домино деп — өлшемі $1 \times 2$ немесе $2 \times 1$ болатын тіктөртбұрышты айтамыз. $n \geq 3$ бүтін саны үшін, $n \times n$ торлы тақтаға доминолар келесідей орналастырылады: әр домино екі ұяшықты жабады, және доминолар бір-бірімен қабаттаспайды. Жолдың немесе бағанның салмағы деп оның кемінде бір ұяшығын жабатын доминолардың санын атаймыз. Орналасу теңдестірілген деп аталады, егер барлық жолдар мен барлық бағандардың салмағы $k$-ға тең болатындай $k \geq 1$ саны табылса. Әрбір $n \geq 3$ үшін теңдестірілген орналастыру бар екенін дәлелдеңіз және ол үшін қажет доминолардың ең аз санын табыңыз.