Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2017 год. Швейцария

Қабырғалары бiр бiрiне тең емес $ABC$ сүйiр бұрышты үшбұрыш берiлген. $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ және $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ нүктелерi сәйкесiнше $ABC$ үшбұрышының $G$ ауырлық ортасына және сырттай сызылған шеңберiнiң $O$ центрi $BC$, $CA$, $AB$ қабырғаларына қатысты симметриялы болсын. $G_{1}G_{2}C,$ $G_{1}G_{3}B,$ $G_{2}G_{3}A,$ $O_{1}O_{2}C,$ $O_{1}O_{3}B,$ $O_{2}O_{3}A$ және $ABC$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлерi бiр нүктеде қиылысатынын дәлелдеңiз. Үшбұрыштың медианалар қиылысу нүктесi ауырлық центрі деп аталады.

Комментарий/решение

Пусть $H$ - ортоцентр, тогда $O,G,H$ лежат на прямой Эйлера.

Покажем что симметричные прямые к прямой $OH$ относительно каждой стороны, пересекаются в одной точке $N$ лежащей на описанной окружности $ABC$ и то что все эти окружности в условий пересекаются в этой точке.

Пусть $H_1,H_2,H_3$ - точки симметричные от $BC,AC,AB$ тогда по известной теореме $H_1,H_2,H_3$ лежат на окружности $ABC$.

1) С начала продемонстрируем что окружности $G_1G_2C, G_2G_3A, G_1G_3B$ пересекаются в $N$.

Доказательство: Пусть $N \in O_1H_1 \cap \omega_{ABC}$ и $T \in OH \cap AC , \ X \in GG_1 \cap AC, \ Y \in GG_3 \cap AC$ тогда

$\angle NG_1X = \angle NH_1A = \angle NCA$ то есть $NG_1CX$ вписанный, но в силу симметричности $\angle XGT = \angle XG_2T$ но $\angle XGT = \angle HGG_1 = \angle NG_1X = \angle NCX$ и так как $\angle XG_2C+\angle XG_1C = \angle XGC + \angle CGG_1=180$ в совокупности получаем что $NG_1G_2C$ лежат на одной окружности и $N,T,G_2$ лежат на одной прямой.

Теперь то что $N,G_3,H_3$ лежат на одной прямой , для этого:

$\angle NH_3C = \angle NBC$ но $\angle G_3H_3H = \angle H_3HG = 90-\angle HAB + \angle AHG = \angle B + \angle NBA = \angle NBC$ то есть лежат на одной прямой.

и теперь из симметричности $\angle NG_3A = \angle AGT = \angle AG_2T$ то есть $NG_2G_3A$ вписанный и последнее $\angle G_3BG_1 = 2(\angle ABG + \angle CBG) = 2\angle B$ и $\angle G_3NH_1 = \angle H_3AH = 2(90- \angle B) = 180-2 \angle B$ то есть $NG_1G_3B$ вписанный.

2) Теперь покажем что окр-и $O_1O_2C, \ O_1O_3B, \ O_2O_3A$ пересекаются в точке $N$.

$\angle NCA = \angle NH_1A = \angle NO_1O$ и так как $CO_1=CO=CO_2$ то есть $O_1OO_2$ вписанный с центром в $C$ или $\angle OO_1O2 = \angle ACO_2$ то есть $\angle NO_1O_2 = \angle NCO_2$ или $NO_1O_2C$ вписанный, так же $\angle NO_3A = \angle TGA = \angle AO_2T = \angle AO_2N$ то есть $NO_2O_3A$ - вписанный, $\angle O_3NH_1 = \angle H_3AH = 2(90-B) = 180-2B$ и $\angle O_3BO_1 = 2(\angle ABO + \angle CBO) = 2B$ то есть $NO_1O_3B$ - вписанный.

Сначала докажем одну крутую теорему:

Прямая $ℓ$ проходящая через ортоцентр $ABC$, пересекает стороны острого угла $ACB$. Точки $X_1$ и $X_2$ симметричны произвольной точке $X$ на прямой $ℓ$ относительно прямых $CB$ и $CA$. Известно что все описанные окружности треугольников $X_1X_2C$ проходят через одну точку.

Док-во:

Пусть $ℓ$ пересекает стороны $CA$ и $CB$ в точках $D,E$. Так как $\angle AX_2D=\angle AXD=180-\angle AXE=180-\angle AX_1E$, тогда прямые $X_2D$ и $X_1E$ пересекаются на $(X_1X_2C)$. И также заметим что эта точка является точкой анти-штейнера для прямой $ℓ$ и она фиксирована.

Из теоремы следует что тк $O,G$ лежат на прямой эйлера которая проходит через $H$, тогда каждая из нужных окружностей проходит через точку анти-штейнера прямой эйлера.