Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2016 год. Румыния

Пусть $S$ — множество всех положительных целых чисел $n$ таких, что число $n^{4}$ делится хотя бы на одно из чисел $n^{2}+1, n^{2}+2, \ldots, n^{2}+2 n$. Докажите, что среди элементов множества $S$ бесконечно много чисел каждого из видов $7 m, 7 m+1,7 m+2,7 m+5,7 m+6$ и нет ни одного числа вида $7 m+3$ и вида $7 m+4$, где $m$ — целое.