қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2016 год. Румыния
Задача №1. Пусть $n$ — нечётное целое положительное число, а $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ — неотрицательные действительные числа. Докажите, что $$ \min _{i=1, \ldots, n}\left(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}\right) \leq \max _{j=1, \ldots, n}\left(2 x_{j} x_{j+1}\right) $$ где $x_{n+1}=x_{1}$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $X$. Точки $C_{1}, D_{1}$ и $M$ — середины отрезков $CX,$ $DX$ и $CD$ соответственно. Прямые $AD_{1}$ и $BC_{1}$ пересекаются в точке $Y$, а прямая $MY$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в различных точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что прямая $XY$ касается окружности, описанной около треугольника $EFX$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть $m$ — целое положительное число. Дана таблица $4 m \times 4 m$, состоящая из единичных клеток. Две различные клетки назовём родственными, если они находятся в одной строке или в одном столбце. Никакая клетка не является родственной для самой себя. Некоторые клетки были окрашены в синий цвет, при этом оказалось, что у каждой клетки таблицы не менее двух родственных ей синих клеток. Найдите наименьшее возможное количество синих клеток.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ одинакового радиуса пересекаются в точках $X_{1}$ и $X_{2}$. Окружность $\omega$ касается окружности $\omega_{1}$ внешним образом в точке $T_{1}$ и окружности $\omega_{2}$ внутренним образом в точке $T_{2}$. Докажите, что прямые $X_{1} T_{1}$ и $X_{2} T_{2}$ пересекаются на окружности $\omega$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Пусть даны целые числа $k$ и $n$ такие, что $k \geq 2$ и $k \leq n \leq 2 k-1$. На клетчатую доску размера $n \times n$ последовательно выкладывают плитки любого из двух видов $1 \times k$ и $k \times 1$ так, что каждая плитка покрывает ровно $k$ клеток и никакие две плитки не перекрываются. Этот процесс заканчивается, когда невозможно добавить ни одной плитки. Найдите наименьшее возможное количество выложенных плиток.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Пусть $S$ — множество всех положительных целых чисел $n$ таких, что число $n^{4}$ делится хотя бы на одно из чисел $n^{2}+1, n^{2}+2, \ldots, n^{2}+2 n$. Докажите, что среди элементов множества $S$ бесконечно много чисел каждого из видов $7 m, 7 m+1,7 m+2,7 m+5,7 m+6$ и нет ни одного числа вида $7 m+3$ и вида $7 m+4$, где $m$ — целое.
комментарий/решение
комментарий/решение