Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2016 год. Румыния

Іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $AC$ және $BD$ диагональдары $X$ нүктесінде қиылысады. $C_{1}, D_{1}$ және $M$ — $CX,$ $DX$ және $CD$ кесінділерінің орталары. $AD_{1}$ және $BC_{1}$ түзулері $Y$ нүктесінде қиылысады, ал $MY$ түзуі диагональдарды тиісінше $E$ және $F$ нүктелерінде қиып өтеді. $XY$ түзуі $EFX$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$C_1D_1||CD$, откуда по лемме Фусса получаем, что $ABC_1D_1$ - вписанный. Заметим, что $XC_1MD_1$ является параллелограммом. $\angle XD_1Y=\angle XC_1Y$, поэтому по лемме об изогоналях получаем, что $YX$ и $YM$ - изогонали угла $\angle AYB$. $$\angle EFX=\angle D_1BC_1+\angle FYB=\angle D_1AC_1+\angle XYA=\angle EXY,$$ что равносильно требуемому.