Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2016 год. Румыния

Пусть $n$ — нечётное целое положительное число, а $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ — неотрицательные действительные числа. Докажите, что $$ \min _{i=1, \ldots, n}\left(x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}\right) \leq \max _{j=1, \ldots, n}\left(2 x_{j} x_{j+1}\right) $$ где $x_{n+1}=x_{1}$.

Комментарий/решение

Б.О.О $i\ge i+1,j\ge {j+1}\Rightarrow x_i^2+x_{i+1}^2\le x_{j+1}^2+x_{i+1}^2\Rightarrow 2x_jx_{j+1}\ge (x_i+x_{i+1})x_i=x_i^2+x_ix_{i+1}\ge x_i^2+x_{i+1}^2\blacksquare$