Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2015 год. Беларусь

Пусть $\triangle ABC$ — остроугольный треугольник, а точка $D$ — основание высоты, проведённой из вершины $C$. Биссектриса угла $\angle ABC$ пересекает $CD$ в точке $E$, а описанную окружность $\omega$ треугольника $\triangle ADE$ вторично пересекает в точке $F$. Докажите, что если угол $\angle ADF=45^{\circ}$, то $CF$ является касательной к окружности $\omega$.

Комментарий/решение

Заметим, что поскольку $\angle ADF=45^\circ$, то учитывая, что $BF$ - биссектриса $\angle CBD$, получим, что $F$ - центр вневписанной окружности треугольника $CDB$. Значит, $CF$ - биссектриса внешнего угла при вершине $C$. Положим $\angle ABC=2\beta$, отсюда $$\angle FCD = \frac{180^\circ - \angle BCD}{2} = \frac{180^\circ - (90^\circ - \angle ABC) }{2} = \frac{180^\circ - 90^\circ + 2\beta}{2} = 45^\circ+\beta.$$ Понятно, что $\angle CEF=\angle BED=90^\circ-\beta$. Из суммы углов для треугольника $CFE$: $$\angle CFE=180^\circ-\angle FCE-\angle FEC=180^\circ-(45^\circ+\beta)-(90^\circ-\beta)=45^\circ=\angle FDE,$$ значит $CF$ касается окружности $\omega$.