Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2013 год. Люксембург

Белоснежка и семь гномов живут в своем домике в лесу. В течение каждого из 16 последовательных дней некоторые гномы работали на алмазной шахте, в то время как остальные собирали грибы. Каждый гном выполнял только один вид работы в течение всего дня. Известно, что какие бы два дня ни выбрать, найдутся хотя бы три гнома, которые в эти два дня выполняли оба вида работы. Кроме того, в первый день все семь гномов работали на шахте. Докажите, что в один из этих 16 дней все гномы ходили за грибами.