Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2012 год. Великобритания

Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник с описанной окружностью $\Gamma$ и ортоцентром $H$. Пусть $K$ — точка на окружности Г по другую сторону от точки $A$ относительно $BC$. Пусть $L$ — симметрична $K$ относительно $AB$, а $M$ — симметрична $K$ относительно прямой $BC$. Пусть $E$ — вторая точка пересечения Г и описанной окружности треугольника $BLM$. Докажите, что прямые $KH,$ $EM$ и $BC$ пересекаются в одной точке. (Ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот.)

Комментарий/решение

$$AH\cap \Gamma = D, \angle BEM=\angle LMB=90^\circ-\angle LKM,$$

а при повороте на $90^\circ: KL\to AB, MK\to BC$, поэтому $$90^\circ-\angle LKM=90^\circ-\angle ABC=\angle BAD=\angle BED,$$

то есть $E,M,D$ лежат на одной прямой. При симметрии относительно $BC:K\to M,H\to D$, значит $KH$ и $EM$ - прямые, которые являются симметричными относительно $BC$. Это равносильно требуемому.