Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

$k+1 < 2n$ болатындай натурал $n$ және $k$ сандары берілген. $a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=0$, және барлық $i=1,2,\ldots,2n$ үшін $a_i\in\{1,-1\}$ және $a_1+a_2+\cdots+a_i\ge 0$ шарттарын қанағаттандыратын $(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ тізбектер жиынын $A$ деп белгілейік. $a_k=1$ болатын $A$-ның барлық ішкі жиынын $B$ деп, ал $a_{k+1}=1$ болатын $A$-ның барлық ішкі жиынын $C$ деп белгілейік. $|B|\cdot |C|\ge |A|\cdot |B\cap C|$ теңсіздігін дәлелдеңіз. (Бұл жерде $|X|$ арқылы $X$ жиынының элементтер саны белгіленген.) ( Д. Елиусизов )