Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

Найдите все четверки натуральных чисел $(a,b,c,d)$ таких, что $2^a+3^b=5^c\cdot d$ и $2^b+3^a=5^d\cdot c$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Официальное решение:

Следующие два факта тривиальны по индукции для натурального $n \geq 2$

$3^{2n}>5^n*n$

$5^{n-1} \geq 3n-1$

Разберем два случая:

1) $a=b$ =>> $c=d$.

$2^a+3^a \equiv 0 \pmod 5$ =>> $a$ нечетное.

$c=1$ =>> $a=b=1$

$c \geq 2$ =>> по LTE

$V_5(2^a+3^a)=1+V_5(a) \geq c$ =>> $a \geq 5^{c+1}$ =>>

$3^{2c}>5^c*c>3^a \geq 3^{5^{c+1}}$ но у нас же

$5^{c+1} \geq 3c-1 > 2c$

Отсюда противоречие.

2) $a \ne b$ (Б.О.О $a > b$)

Заметим что $2^a+3^b=5^c*d < 2^b+3^a=5^d*c < 2^a+3^c < 5^a$ $(1)$

Очевидно что $\dfrac{5^{n+1}}{n} > \dfrac{5^n}{n+1}$ и так увеличивая $n$ неравенство будет сохранятся то есть из $(1)$ следует что $c<d<a$

$2^a+3^b \equiv 0 \pmod 5$ отсюда следует что $2 | a-b$

Если $c=1$ то:

$2^a+3 \leq 2^a+3^b=5*d \leq 5(a-1) =>> 2^a < 5a-8$ что легко можно опровергнуть по индукции для $a \geq 3$.

Из условия известно что:

$5^c(5^{d-c}*c*2^a-d*2^b)=2^a(2^b+3^a)-2^b(2^a+3^b)=6^a-6^b=6^b(6^{a-b}-1) =>> 5^c | 6^{a-b}-1$. По LTE имеем что

$c \leq V_5(6^{a-b}-1)=V_5(a-b)+1 =>> 5^{c-1} | a-b$

Тогда $a \geq 2*5^{c-1}+b > 2*5^{c-1}$, следовательно

$5^c*a > 5^c*d > 2^a =>> 5^c >\dfrac{2^a}{a} > \dfrac{2^{2*5^{c-1}}}{2*5^{c-1}} =>> 2^{2*5^{c-1}} < 2*5^{2c-1} <2*8^{2c-1}=2^{6c-2} =>> 5^{c-1} < 3c-1$ что невозможно.

Ответ:$(a,b,c,d)=(1,1,1,1)$