Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып

${{({{a}_{n}})}_{n\ge 0}}$ тізбегі былай анықталған: ${{a}_{0}}=3,$ және $n\ge 1$ үшін ${{a}_{n}}=2+{{a}_{0}}{{a}_{1}}...{{a}_{n-1}}$.
а) Осы тізбектің кез келген екі мүшесі өзара жай натурал сандар екенін дәлелде.
б) ${{a}_{2008}}$-ді тап.

Комментарий/решение

Каждое число из последовательности а(n) может быть представленно как:

2^(2^(k+1)) + 1 где k натуральное число или ноль

Доказательство:

a(n+1)=2+a(n)(a(n)-2)

представим что a(n) равно 2^(s)+1 тогда

a(n+1)= 2^(2s)+1

следовательно если самый первый член последовательности прелставим в виде

2^(2^(k+1)) где k натуральное число или ноль

то все остальные тоже представимы

и как видно из формулы

a(n+1)= 2^(2s)+1

степень 2 увеличивается в два раза с каждым последующим числом

а(2008)=2^(2^(2009))+1

Из верхнего доказательства видно что все члены последовательности являются нечетными.

Теорема

Если к числу прибавить взаимно простое с ним число то получившееся число будет взаимно просто с исходным и следовательно с любым из его множителей.

возьмем два числа из последовательности a(n), a(k)

k<n ==> a(n)=2+a(k)a(0)a(1)a(2)...a(n-1)

2 взаимно просто с любым из чисел в последовательности a следовательно он взаимно просто с любым его произведением. Согласно вышеописанной теореме a(n) взаимно просто с a(k)