21-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2025 год

$n>1$ бүтін саны үшін $1,2,\dots,n$ сандарының барлық орын ауыстыруларының жиынын (яғни $\sigma\colon \{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$ болатын өзара біртекті анықталатын барлық жиынды) $S_n$ деп белгілейік. Егер $\sigma\in S_n$ орын ауыстырылымындағы $1\leqslant a < b\leqslant n$ сандары үшін ${|\sigma(a)-\sigma(b)|}\geqslant {|a-b|}$ теңсіздігі орындалса, онда $(a,b)$ бүтін сандар жұбын кеңейген сандар жұбы деп атаймыз.
   (a) Кез келген $n>1$ бүтін саны үшін $\sigma$-ның кеңейген жұптар саны $1000n\sqrt n$ санынан кем болатындай $\sigma \in S_n$ орын ауыстыруы табылады деген тұжырым дұрыс па?
   (b) $\sigma$-ның кеңейген жұптар саны ${1\over 1000}n\sqrt n$ санынан кем болатындай бүтін $n>1$ саны мен $\sigma \in S_n$ орын ауыстыруы табылады ма? ( И. Богданов )