Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур дистанционного этапа

Сегодня у меня и моей сестры день рождения. Вместе нам 26 лет, причем сестре в три раза меньше лет, чем мне будет тогда, когда нам вместе будет в пять раз больше лет, чем мне сейчас. Сколько сейчас лет моей сестре? ( Одесская олимпиада, 91/92 )

Комментарий/решение

Ответ: $12$ лет.

Возьмём возраст брата сейчас как $a$ , а возраст сестры сейчас как $b$, а разницу в возрасте сейчас и в будущем как $c$. Выходит такие условия:

1. $a+b=26$

2. $a+c=3b$

3. $a+c+b+c=5a$.

Из первого условия, $b$ можно взять как $b=26-a$.

Тогда подставим $b$ к второму условию и выходит:

$$a+c=3b=3×(26-a)=78-3a$$ Тогда:

$c=78-4a$.

Подставим $a+b=26$ и $c$ под третье условие:

$$a+c+b+c=2c+a+b=2×(78-4a)+26=5a$$

Раскроем:

$156-8a+26=182-8a=5a$

Из этого выходит:

$182=13a$

$a=14$

Тогда $b=26-a=26-14=12$.

a $c=78-4a=78-56=22$.

Теперь проверим подставив под условия:

1. $a+b=26$ , $14+12=26$

2. $a+c=3b$ , $14+22=36=3×(12)$

3. $a+c+b+c=5a$ ,

$14+22+12+22=70=5×(14)$.

Значение $а$, $b$ и $c$ не противоречят условиям, значит

$a=14$, $b=12$ , $c=22$.

То есть Брату сейчас 14 лет, сестре 12 лет , а прошло 22 года.

Ответ: $12$ лет.